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Free MMPC-005 Solved Assignment | July 2025, January 2026 | MBA, MBAOL, MBF, MBAFM, MBAOM, MBAHM, MBAMM, PGDIOM, MBAABM, MBAHCHM, MBACN, MBALS | English & Hindi Medium | IGNOU

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Question:-1

What is Statistical Decision Theory? Describe the four different states of decision environment in managerial applications. Which is the most prevalent state?

Answer:

📊 Understanding Statistical Decision Theory

Statistical Decision Theory (SDT) is a formal framework for making decisions under conditions of uncertainty. It provides a structured, quantitative approach to choosing between alternative courses of action when the outcomes of those actions are not fully predictable. At its core, SDT integrates concepts from statistics, probability theory, and economics to help a decision-maker select the option that is most aligned with their objectives, based on the available information.
The framework operates on a few key components:
  • Alternatives: These are the different choices or actions available to the decision-maker (e.g., launch Product A or Product B).
  • States of Nature: These are the uncertain future events that affect the outcome of a decision but are beyond the decision-maker's control (e.g., the state of the economy: boom, recession, or stability).
  • Payoffs: The consequence or result of choosing a particular alternative when a specific state of nature occurs. Payoffs are often quantified in terms of profit, cost, or utility.
  • Criteria: The rule or method used to select the best alternative, which incorporates the decision-maker's attitude toward risk.
The ultimate goal of SDT is not to eliminate uncertainty—which is often impossible—but to manage it in a rational and informed way, leading to more robust and defensible decisions.

🌍 The Four States of Decision Environment

In managerial applications, the context of a decision is defined by what is known about the states of nature. These contexts are categorized into four distinct types of decision environments, each requiring a different analytical approach.

1. ✅ Certainty

A decision environment characterized by certainty is one where the manager has perfect knowledge of the future. The state of nature that will occur is known without a doubt. In this ideal scenario, the decision-making process is straightforward: the manager simply calculates the payoff for each alternative under this known future state and chooses the one with the best outcome.
  • Example: A manager must decide between two suppliers for a raw material. Supplier A charges $10 per unit, and Supplier B charges $12 per unit. The quality and delivery times are identical. Under certainty, the decision is simple: choose Supplier A to minimize cost.
  • Prevalence: This state is extremely rare in practice for significant strategic decisions. While it might apply to simple, short-term operational choices, most important managerial decisions involve some degree of uncertainty.

2. 🎲 Risk

A decision environment characterized by risk is the most common and practical scenario in business. Here, the manager does not know which state of nature will occur but can assign meaningful probabilities to each possible outcome. These probabilities can be based on historical data, market research, expert opinion, or subjective judgment.
  • Example: A company is deciding whether to launch a new product. The manager estimates a 60% probability of high market demand (leading to a $2 million profit), a 30% probability of moderate demand ($500,000 profit), and a 10% probability of low demand (a $1 million loss). SDT provides tools like calculating the Expected Monetary Value (EMV) to aid in this decision. The EMV for launching would be (0.6 * $2M) + (0.3 * $0.5M) + (0.1 * -$1M) = $1.25 million.
  • Prevalence: This is a highly prevalent state for tactical and strategic decisions, such as capital budgeting, product launches, and portfolio management, where past data can inform future probabilities.

3. ❓ Uncertainty

In a state of uncertainty, the manager can identify the possible states of nature but cannot assign any probabilities to their likelihood. This lack of probabilistic information makes decision-making more complex and heavily dependent on the manager's psychological temperament and attitude toward risk.
  • Example: A mining company is considering bidding on the rights to a tract of land in a politically unstable country. The potential states of nature are: (1) the government stabilizes and honors contracts, (2) a new government imposes heavy taxes, or (3) civil war breaks out and assets are seized. Without any reliable way to assign probabilities to these events, the manager must rely on decision criteria like:
    • Maximax (Optimistic): Choose the alternative with the highest possible payoff.
    • Maximin (Pessimistic): Choose the alternative with the best worst-case scenario.
    • Minimax Regret: Choose the alternative that minimizes the maximum possible regret (opportunity loss).
  • Prevalence: This state is common when entering completely new markets, dealing with unprecedented events (e.g., a pandemic), or making decisions based on disruptive new technologies where no historical data exists.

4. 🥽 Ignorance (or Ambiguity)

This is the most challenging decision environment. Under ignorance, the manager lacks the information to even define all the possible states of nature, let alone assign probabilities to them. The full range of potential outcomes is unknown. This is often referred to as a "black swan" event scenario, where something happens that was previously thought to be impossible.
  • Example: In the late 1990s, a video rental company like Blockbuster was making decisions based on states of nature like competitor pricing and store locations. The state of nature "a digital streaming service will render our entire business model obsolete within a decade" was likely not on their radar—it was a state of ignorance. They were unaware of the very possibility of this outcome.
  • Prevalence: While less common than risk or uncertainty, ignorance is a real factor in highly volatile and innovative industries. The best strategy here is to build agile and resilient organizations that can adapt to surprises.

📈 The Most Prevalent State: Risk

Among these four states, the environment of risk is the most prevalent and central state in managerial applications for several reasons:
  1. Availability of Data: Modern businesses generate and have access to vast amounts of historical data. Through tools like data analytics and business intelligence, managers can analyze past performance to make informed probabilistic forecasts about future events, moving decisions from uncertainty toward risk.
  2. Foundation of Business Strategy: Key managerial functions like financial planning, marketing analysis, and operations management are built on the foundation of forecasting. Whether predicting sales, customer churn, machine failure, or economic indicators, managers constantly use probabilities to guide their choices.
  3. SDT's Primary Domain: The tools and criteria of Statistical Decision Theory—such as decision trees, expected value calculations, and utility theory—are most powerfully applied in the state of risk. This is where quantitative analysis adds the most value over pure intuition.
While managers frequently face uncertainty and must occasionally contend with ignorance, the bulk of structured decision-making occurs in the environment of risk. It represents the sweet spot where managerial skill, informed by data and analytical frameworks like SDT, can significantly improve organizational outcomes by making informed choices in the face of an unpredictable future.

Question:-2

A certain manufacturing process yields electrical fuses of which, in the long run, 15% are defective. Find the probability that in a sample of 10 fuses selected at random there will be: a) No defective b) At least one defective

Answer:

🧮 Solution

Step 1: Understand the Problem

We are dealing with a binomial probability problem because:
  • There are a fixed number of trials (n = 10 fuses).
  • Each trial has two outcomes: defective (success) or not defective (failure).
  • The probability of success (defective) is constant (p = 0.15).
  • The trials are independent.
Let X X XXX be the number of defective fuses in the sample of 10. Then X ∼ Binomial ( n = 10 , p = 0.15 ) X ∼ Binomial ( n = 10 , p = 0.15 ) X∼"Binomial"(n=10,p=0.15)X \sim \text{Binomial}(n=10, p=0.15)X∼Binomial(n=10,p=0.15).
The probability mass function (PMF) is:
P ( X = k ) = ( 10 k ) ( 0.15 ) k ( 0.85 ) 10 − k P ( X = k ) = ( 10 k ) ( 0.15 ) k ( 0.85 ) 10 − k P(X=k)=((10 )/(k))(0.15)^(k)(0.85)^(10-k)P(X = k) = \binom{10}{k} (0.15)^k (0.85)^{10-k}P(X=k)=(10k)(0.15)k(0.85)10−k
where ( 10 k ) = 10 ! k ! ( 10 − k ) ! ( 10 k ) = 10 ! k ! ( 10 − k ) ! ((10 )/(k))=(10!)/(k!(10-k)!)\binom{10}{k} = \frac{10!}{k!(10-k)!}(10k)=10!k!(10−k)!.

🔹 Part (a): Probability of No Defective Fuses

We want P ( X = 0 ) P ( X = 0 ) P(X=0)P(X = 0)P(X=0).
Using the PMF:
P ( X = 0 ) = ( 10 0 ) ( 0.15 ) 0 ( 0.85 ) 10 = 1 ⋅ 1 ⋅ ( 0.85 ) 10 P ( X = 0 ) = ( 10 0 ) ( 0.15 ) 0 ( 0.85 ) 10 = 1 ⋅ 1 ⋅ ( 0.85 ) 10 P(X=0)=((10)/(0))(0.15)^(0)(0.85)^(10)=1*1*(0.85)^(10)P(X = 0) = \binom{10}{0} (0.15)^0 (0.85)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0.85)^{10}P(X=0)=(100)(0.15)0(0.85)10=1⋅1⋅(0.85)10
Calculate ( 0.85 ) 10 ( 0.85 ) 10 (0.85)^(10)(0.85)^{10}(0.85)10:
( 0.85 ) 10 ≈ 0.196874404 ( 0.85 ) 10 ≈ 0.196874404 (0.85)^(10)~~0.196874404(0.85)^{10} \approx 0.196874404(0.85)10≈0.196874404
So,
P ( X = 0 ) ≈ 0.1969 P ( X = 0 ) ≈ 0.1969 P(X=0)~~0.1969P(X = 0) \approx 0.1969P(X=0)≈0.1969
Answer for (a):
The probability that there are no defective fuses is approximately 0.1969.

🔹 Part (b): Probability of At Least One Defective Fuse

We want P ( X ≥ 1 ) P ( X ≥ 1 ) P(X >= 1)P(X \geq 1)P(X≥1).
Note that:
P ( X ≥ 1 ) = 1 − P ( X = 0 ) P ( X ≥ 1 ) = 1 − P ( X = 0 ) P(X >= 1)=1-P(X=0)P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)P(X≥1)=1−P(X=0)
From part (a), P ( X = 0 ) ≈ 0.1969 P ( X = 0 ) ≈ 0.1969 P(X=0)~~0.1969P(X = 0) \approx 0.1969P(X=0)≈0.1969, so:
P ( X ≥ 1 ) = 1 − 0.1969 = 0.8031 P ( X ≥ 1 ) = 1 − 0.1969 = 0.8031 P(X >= 1)=1-0.1969=0.8031P(X \geq 1) = 1 - 0.1969 = 0.8031P(X≥1)=1−0.1969=0.8031
Answer for (b):
The probability that there is at least one defective fuse is approximately 0.8031.

📊 Final Answers:

  • a) Probability of no defective fuses: 0.1969
  • b) Probability of at least one defective fuse: 0.8031
These results are consistent with the binomial distribution and demonstrate the complementary nature of the events. The calculations show that while it is not uncommon to find a sample with no defectives (about 19.7% of the time), it is much more likely to find at least one defective (about 80.31% of the time).

Question:-3

A manager at a drug manufacturing wants to estimate what proportion of the adult population of India has high blood pressure. He wants to be 99% sure that the error of his estimate will not exceed 0.02. Census reports indicate that about 0.20 of all adults have high blood pressure. What sample size shall he take?

Answer:

📊 Determining the Required Sample Size for Estimating a Proportion

Step 1: Understand the Problem

The manager wants to estimate the proportion p p ppp of adults in India with high blood pressure. He requires:
  • A 99% confidence level.
  • A margin of error (E) not exceeding 0.02.
  • Prior information suggests p ≈ 0.20 p ≈ 0.20 p~~0.20p \approx 0.20p≈0.20.
We need to find the sample size n n nnn that satisfies these conditions.

Step 2: Recall the Formula for Sample Size (Proportion)

The formula to determine the sample size for estimating a population proportion with a specified margin of error is:
n = ( z α / 2 E ) 2 ⋅ p ⋅ ( 1 − p ) n = z α / 2 E 2 ⋅ p ⋅ ( 1 − p ) n=((z_(alpha//2))/(E))^(2)*p*(1-p)n = \left( \frac{z_{\alpha/2}}{E} \right)^2 \cdot p \cdot (1 - p)n=(zα/2E)2⋅p⋅(1−p)
Where:
  • z α / 2 z α / 2 z_(alpha//2)z_{\alpha/2}zα/2 is the critical value for the desired confidence level.
  • E E EEE is the margin of error.
  • p p ppp is the estimated proportion (from prior knowledge).
  • ( 1 − p ) ( 1 − p ) (1-p)(1 - p)(1−p) is the complement of p p ppp.

Step 3: Find the Critical Value z α / 2 z α / 2 z_(alpha//2)z_{\alpha/2}zα/2

For a 99% confidence level, the significance level α = 0.01 α = 0.01 alpha=0.01\alpha = 0.01α=0.01.
Thus, α / 2 = 0.005 α / 2 = 0.005 alpha//2=0.005\alpha/2 = 0.005α/2=0.005.
The critical value z 0.005 z 0.005 z_(0.005)z_{0.005}z0.005 is the z-score that leaves 0.5% in each tail of the standard normal distribution. From standard normal tables:
z 0.005 ≈ 2.576 z 0.005 ≈ 2.576 z_(0.005)~~2.576z_{0.005} \approx 2.576z0.005≈2.576

Step 4: Plug Values into the Formula

Given:
  • E = 0.02 E = 0.02 E=0.02E = 0.02E=0.02
  • p = 0.20 p = 0.20 p=0.20p = 0.20p=0.20
  • 1 − p = 0.80 1 − p = 0.80 1-p=0.801 - p = 0.801−p=0.80
  • z α / 2 = 2.576 z α / 2 = 2.576 z_(alpha//2)=2.576z_{\alpha/2} = 2.576zα/2=2.576
Substitute into the formula:
n = ( 2.576 0.02 ) 2 ⋅ ( 0.20 ) ⋅ ( 0.80 ) n = 2.576 0.02 2 ⋅ ( 0.20 ) ⋅ ( 0.80 ) n=((2.576)/(0.02))^(2)*(0.20)*(0.80)n = \left( \frac{2.576}{0.02} \right)^2 \cdot (0.20) \cdot (0.80)n=(2.5760.02)2⋅(0.20)⋅(0.80)
First, compute 2.576 0.02 2.576 0.02 (2.576)/(0.02)\frac{2.576}{0.02}2.5760.02:
2.576 0.02 = 128.8 2.576 0.02 = 128.8 (2.576)/(0.02)=128.8\frac{2.576}{0.02} = 128.82.5760.02=128.8
Now square it:
( 128.8 ) 2 = 16589.44 ( 128.8 ) 2 = 16589.44 (128.8)^(2)=16589.44(128.8)^2 = 16589.44(128.8)2=16589.44
Multiply by p ⋅ ( 1 − p ) p ⋅ ( 1 − p ) p*(1-p)p \cdot (1 - p)p⋅(1−p):
n = 16589.44 ⋅ ( 0.20 ⋅ 0.80 ) = 16589.44 ⋅ 0.16 = 2654.3104 n = 16589.44 ⋅ ( 0.20 ⋅ 0.80 ) = 16589.44 ⋅ 0.16 = 2654.3104 n=16589.44*(0.20*0.80)=16589.44*0.16=2654.3104n = 16589.44 \cdot (0.20 \cdot 0.80) = 16589.44 \cdot 0.16 = 2654.3104n=16589.44⋅(0.20⋅0.80)=16589.44⋅0.16=2654.3104

Step 5: Round Up to the Nearest Whole Number

Since sample size must be an integer, we round up:
n = 2655 n = 2655 n=2655n = 2655n=2655

✅ Final Answer:

The manager should take a sample of 2655 adults to be 99% confident that the error in estimating the proportion with high blood pressure does not exceed 0.02.

Question:-4

For a set of 1000 observations known to be normally distributed, the mean is 534 cm and SD is 13.5 cm. How many observations are likely to exceed 561 cm? How many will be between 520.5 and 547.5 cm?

Answer:

Let's analyze the problem step by step:
Given:
  • Number of observations, n = 1000 n = 1000 n=1000n = 1000n=1000
  • Mean, μ = 534 μ = 534 mu=534\mu = 534μ=534 cm
  • Standard Deviation, σ = 13.5 σ = 13.5 sigma=13.5\sigma = 13.5σ=13.5 cm
  • The observations are normally distributed.
We need to find:
  1. The number of observations likely to exceed 561 cm.
  2. The number of observations between 520.5 cm and 547.5 cm.

Step 1: Standardize the values using the Z-score

The Z-score is given by:
Z = X − μ σ Z = X − μ σ Z=(X-mu)/(sigma)Z = \frac{X - \mu}{\sigma}Z=X−μσ

Part 1: Observations exceeding 561 cm

First, find the Z-score for X = 561 X = 561 X=561X = 561X=561:
Z 1 = 561 − 534 13.5 = 27 13.5 = 2 Z 1 = 561 − 534 13.5 = 27 13.5 = 2 Z_(1)=(561-534)/(13.5)=(27)/(13.5)=2Z_1 = \frac{561 - 534}{13.5} = \frac{27}{13.5} = 2Z1=561−53413.5=2713.5=2
So, P ( X > 561 ) = P ( Z > 2 ) P ( X > 561 ) = P ( Z > 2 ) P(X > 561)=P(Z > 2)P(X > 561) = P(Z > 2)P(X>561)=P(Z>2)
From the standard normal distribution table:
  • P ( Z ≤ 2 ) = 0.9772 P ( Z ≤ 2 ) = 0.9772 P(Z <= 2)=0.9772P(Z \leq 2) = 0.9772P(Z≤2)=0.9772
  • Therefore, P ( Z > 2 ) = 1 − 0.9772 = 0.0228 P ( Z > 2 ) = 1 − 0.9772 = 0.0228 P(Z > 2)=1-0.9772=0.0228P(Z > 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228P(Z>2)=1−0.9772=0.0228
Thus, the number of observations exceeding 561 cm is:
1000 × 0.0228 = 22.8 ≈ 23 1000 × 0.0228 = 22.8 ≈ 23 1000 xx0.0228=22.8~~231000 \times 0.0228 = 22.8 \approx 231000×0.0228=22.8≈23

Part 2: Observations between 520.5 cm and 547.5 cm

Find the Z-scores for both limits.
For X 1 = 520.5 X 1 = 520.5 X_(1)=520.5X_1 = 520.5X1=520.5:
Z 1 = 520.5 − 534 13.5 = − 13.5 13.5 = − 1 Z 1 = 520.5 − 534 13.5 = − 13.5 13.5 = − 1 Z_(1)=(520.5-534)/(13.5)=(-13.5)/(13.5)=-1Z_1 = \frac{520.5 - 534}{13.5} = \frac{-13.5}{13.5} = -1Z1=520.5−53413.5=−13.513.5=−1
For X 2 = 547.5 X 2 = 547.5 X_(2)=547.5X_2 = 547.5X2=547.5:
Z 2 = 547.5 − 534 13.5 = 13.5 13.5 = 1 Z 2 = 547.5 − 534 13.5 = 13.5 13.5 = 1 Z_(2)=(547.5-534)/(13.5)=(13.5)/(13.5)=1Z_2 = \frac{547.5 - 534}{13.5} = \frac{13.5}{13.5} = 1Z2=547.5−53413.5=13.513.5=1
So, P ( 520.5 < X < 547.5 ) = P ( − 1 < Z < 1 ) P ( 520.5 < X < 547.5 ) = P ( − 1 < Z < 1 ) P(520.5 < X < 547.5)=P(-1 < Z < 1)P(520.5 < X < 547.5) = P(-1 < Z < 1)P(520.5<X<547.5)=P(−1<Z<1)
From the standard normal distribution table:
  • P ( Z ≤ 1 ) = 0.8413 P ( Z ≤ 1 ) = 0.8413 P(Z <= 1)=0.8413P(Z \leq 1) = 0.8413P(Z≤1)=0.8413
  • P ( Z ≤ − 1 ) = 0.1587 P ( Z ≤ − 1 ) = 0.1587 P(Z <= -1)=0.1587P(Z \leq -1) = 0.1587P(Z≤−1)=0.1587
  • Therefore, P ( − 1 < Z < 1 ) = 0.8413 − 0.1587 = 0.6826 P ( − 1 < Z < 1 ) = 0.8413 − 0.1587 = 0.6826 P(-1 < Z < 1)=0.8413-0.1587=0.6826P(-1 < Z < 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826P(−1<Z<1)=0.8413−0.1587=0.6826
Thus, the number of observations between 520.5 cm and 547.5 cm is:
1000 × 0.6826 = 682.6 ≈ 683 1000 × 0.6826 = 682.6 ≈ 683 1000 xx0.6826=682.6~~6831000 \times 0.6826 = 682.6 \approx 6831000×0.6826=682.6≈683

Final Answers:

  • Number of observations likely to exceed 561 cm: 23 23 23\boxed{23}23
  • Number of observations between 520.5 cm and 547.5 cm: 683 683 683\boxed{683}683

Question:-5

Write short notes on any three of the following: a) Level of significance b) Quartile Deviation c) Criterion of optimism d) Disproportional Stratified Sampling e) Least Square Criterion

Answer:

📊 a) Level of Significance

In statistical hypothesis testing, the level of significance (denoted as α) represents the probability of rejecting a true null hypothesis, also known as a Type I error. It serves as a threshold for determining whether observed data provides sufficient evidence to reject the null hypothesis. Commonly used values for α are 0.05, 0.01, or 0.10, reflecting a 5%, 1%, or 10% risk of incorrectly rejecting a true hypothesis. For instance, if α = 0.05, there is a 5% chance of concluding a significant effect when none exists. The choice of α depends on the context: stricter fields like medicine may use α = 0.01 to minimize false positives, while social sciences might use α = 0.05. It directly influences critical regions and p-value interpretations, guiding researchers in decision-making.

📐 b) Quartile Deviation

Quartile Deviation (QD), also known as the semi-interquartile range, is a measure of statistical dispersion that describes the spread of data around the median. It is calculated as half the difference between the upper quartile (Q₃) and lower quartile (Q₁):
Q D = Q ₃ − Q ₁ 2 Q D = Q ₃ − Q ₁ 2 QD=(Q₃-Q₁)/(2)QD = \frac{Q₃ - Q₁}{2}QD=Q₃−Q₁2
Unlike range, which is sensitive to outliers, QD focuses on the central 50% of data, making it robust for skewed distributions. For example, in a dataset of incomes where Q₁ = ₹30,000 and Q₃ = ₹80,000, QD = ₹25,000, indicating moderate variability. It is particularly useful in economics and sociology for summarizing income inequality or test score distributions without extreme values distorting insights.

🧮 e) Least Square Criterion

The Least Square Criterion is a fundamental principle in regression analysis used to fit a model to observed data by minimizing the sum of squared differences between observed and predicted values. For a regression line y = m x + c y = m x + c y=mx+cy = mx + cy=mx+c, the goal is to find parameters m m mmm and c c ccc that minimize:
∑ ( y i − y ^ i ) 2 ∑ ( y i − y ^ i ) 2 sum(y_(i)- hat(y)_(i))^(2)\sum (y_i - \hat{y}_i)^2∑(yi−y^i)2
where y i y i y_(i)y_iyi is the actual value and y ^ i y ^ i hat(y)_(i)\hat{y}_iy^i is the predicted value. This method ensures the best linear unbiased estimator (BLUE) under certain assumptions, providing optimal precision. For instance, in predicting house prices based on square footage, least squares regression minimizes errors in price estimates. It is widely applied in fields like econometrics, engineering, and data science for trend analysis and forecasting.
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प्रश्न:-1

सांख्यिकीय निर्णय सिद्धांत क्या है? प्रबंधकीय अनुप्रयोगों में निर्णय वातावरण की चार विभिन्न अवस्थाओं का वर्णन कीजिए। इनमें से सबसे प्रचलित अवस्था कौन सी है?

उत्तर:

📊 सांख्यिकीय निर्णय सिद्धांत को समझना

सांख्यिकीय निर्णय सिद्धांत (एसडीटी) अनिश्चितता की स्थिति में निर्णय लेने के लिए एक औपचारिक ढाँचा है। यह वैकल्पिक कार्यों के बीच चयन करने के लिए एक संरचित, मात्रात्मक दृष्टिकोण प्रदान करता है, जब उन कार्यों के परिणाम पूरी तरह से अनुमानित न हों। अपने मूल में, एसडीटी सांख्यिकी, संभाव्यता सिद्धांत और अर्थशास्त्र की अवधारणाओं को एकीकृत करता है ताकि निर्णयकर्ता को उपलब्ध जानकारी के आधार पर अपने उद्देश्यों के लिए सबसे उपयुक्त विकल्प चुनने में मदद मिल सके।
यह ढांचा कुछ प्रमुख घटकों पर काम करता है:
  • विकल्प: ये निर्णयकर्ता के लिए उपलब्ध विभिन्न विकल्प या क्रियाएं हैं (उदाहरण के लिए, उत्पाद A या उत्पाद B लॉन्च करना)।
  • प्राकृतिक अवस्थाएं: ये अनिश्चित भविष्य की घटनाएं हैं जो किसी निर्णय के परिणाम को प्रभावित करती हैं लेकिन निर्णयकर्ता के नियंत्रण से परे होती हैं (उदाहरण के लिए, अर्थव्यवस्था की स्थिति: तेजी, मंदी या स्थिरता)।
  • लाभ: किसी विशिष्ट प्राकृतिक स्थिति के घटित होने पर किसी विशेष विकल्प को चुनने का परिणाम या परिणाम। लाभ को अक्सर लाभ, लागत या उपयोगिता के रूप में मापा जाता है।
  • मानदंड: सर्वोत्तम विकल्प का चयन करने के लिए प्रयुक्त नियम या विधि, जिसमें जोखिम के प्रति निर्णयकर्ता का दृष्टिकोण शामिल होता है।
एसडीटी का अंतिम लक्ष्य अनिश्चितता को समाप्त करना नहीं है - जो अक्सर असंभव होता है - बल्कि इसे तर्कसंगत और सूचित तरीके से प्रबंधित करना है, जिससे अधिक मजबूत और बचाव योग्य निर्णय लिए जा सकें।

🌍 निर्णय पर्यावरण की चार अवस्थाएँ

प्रबंधकीय अनुप्रयोगों में, किसी निर्णय का संदर्भ प्रकृति की अवस्थाओं के बारे में ज्ञात जानकारी से परिभाषित होता है। इन संदर्भों को चार अलग-अलग प्रकार के निर्णय वातावरणों में वर्गीकृत किया गया है, जिनमें से प्रत्येक के लिए एक अलग विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है।

1. ✅ निश्चितता

निश्चितता से युक्त निर्णय परिवेश वह होता है जहाँ प्रबंधक को भविष्य का पूर्ण ज्ञान होता है। प्रकृति की जो स्थिति घटित होगी, वह बिना किसी संदेह के ज्ञात होती है। इस आदर्श परिदृश्य में, निर्णय लेने की प्रक्रिया सरल होती है: प्रबंधक बस इस ज्ञात भविष्य की स्थिति के अंतर्गत प्रत्येक विकल्प के लिए लाभ की गणना करता है और सर्वोत्तम परिणाम वाले विकल्प को चुनता है।
  • उदाहरण: एक प्रबंधक को कच्चे माल के लिए दो आपूर्तिकर्ताओं में से किसी एक का चयन करना है। आपूर्तिकर्ता A प्रति इकाई $10 लेता है, और आपूर्तिकर्ता B प्रति इकाई $12 लेता है। गुणवत्ता और वितरण समय समान हैं। निश्चितता के साथ, निर्णय सरल है: लागत कम करने के लिए आपूर्तिकर्ता A को चुनें।
  • व्यापकता: महत्वपूर्ण रणनीतिक निर्णयों के लिए यह स्थिति व्यवहार में अत्यंत दुर्लभ है। हालाँकि यह सरल, अल्पकालिक परिचालन विकल्पों पर लागू हो सकती है, लेकिन अधिकांश महत्वपूर्ण प्रबंधकीय निर्णयों में कुछ हद तक अनिश्चितता शामिल होती है।

2. 🎲 जोखिम

जोखिम से युक्त निर्णयात्मक वातावरण व्यवसाय में सबसे सामान्य और व्यावहारिक परिदृश्य है। यहाँ, प्रबंधक को यह नहीं पता होता कि कौन सी प्राकृतिक स्थिति घटित होगी, लेकिन वह प्रत्येक संभावित परिणाम के लिए सार्थक संभावनाएँ निर्धारित कर सकता है। ये संभावनाएँ ऐतिहासिक आँकड़ों, बाज़ार अनुसंधान, विशेषज्ञ की राय या व्यक्तिपरक निर्णय पर आधारित हो सकती हैं।
  • उदाहरण: एक कंपनी यह तय कर रही है कि कोई नया उत्पाद लॉन्च किया जाए या नहीं। प्रबंधक का अनुमान है कि बाज़ार में माँग ज़्यादा होने की 60% संभावना है (जिससे $2 मिलियन का मुनाफ़ा होगा), मध्यम माँग की 30% संभावना है ($500,000 का मुनाफ़ा होगा), और कम माँग की 10% संभावना है (जिससे $1 मिलियन का नुक़सान होगा)। SDT ​​इस फ़ैसले में मदद के लिए अपेक्षित मौद्रिक मूल्य (EMV) की गणना जैसे उपकरण प्रदान करता है । लॉन्च के लिए EMV (0.6 * $2M) + (0.3 * $0.5M) + (0.1 * -$1M) = $1.25 मिलियन होगा।
  • व्यापकता: यह सामरिक और रणनीतिक निर्णयों के लिए अत्यधिक प्रचलित स्थिति है, जैसे कि पूंजी बजट, उत्पाद लॉन्च और पोर्टफोलियो प्रबंधन, जहां पिछले डेटा भविष्य की संभावनाओं को सूचित कर सकते हैं।

3. ❓ अनिश्चितता

अनिश्चितता की स्थिति में , प्रबंधक प्रकृति की संभावित स्थितियों की पहचान तो कर सकता है, लेकिन उनकी संभावना के लिए कोई प्रायिकताएँ निर्धारित नहीं कर सकता। संभाव्यता संबंधी जानकारी का यह अभाव निर्णय लेने को और अधिक जटिल बना देता है और प्रबंधक के मनोवैज्ञानिक स्वभाव और जोखिम के प्रति उसके दृष्टिकोण पर अत्यधिक निर्भर करता है।
  • उदाहरण: एक खनन कंपनी राजनीतिक रूप से अस्थिर देश में ज़मीन के एक टुकड़े के अधिकारों के लिए बोली लगाने पर विचार कर रही है। संभावित प्राकृतिक स्थितियाँ ये हैं: (1) सरकार स्थिर हो जाती है और अनुबंधों का सम्मान करती है, (2) नई सरकार भारी कर लगाती है, या (3) गृहयुद्ध छिड़ जाता है और संपत्ति ज़ब्त कर ली जाती है। इन घटनाओं की संभावनाओं का निर्धारण करने का कोई विश्वसनीय तरीका न होने के कारण, प्रबंधक को निर्णय मानदंडों पर निर्भर रहना पड़ता है जैसे:
    • मैक्सिमैक्स (आशावादी): उच्चतम संभावित लाभ वाला विकल्प चुनें।
    • मैक्सिमिन (निराशावादी): सबसे खराब स्थिति वाले विकल्प को चुनें।
    • न्यूनतम पछतावा: वह विकल्प चुनें जो अधिकतम संभावित पछतावे (अवसर की हानि) को न्यूनतम कर दे।
  • व्यापकता: यह स्थिति पूरी तरह से नए बाजारों में प्रवेश करते समय, अभूतपूर्व घटनाओं (जैसे, एक महामारी) से निपटने, या विघटनकारी नई प्रौद्योगिकियों के आधार पर निर्णय लेने के दौरान आम है, जहां कोई ऐतिहासिक डेटा मौजूद नहीं है।

4. 🥽 अज्ञानता (या अस्पष्टता)

यह सबसे चुनौतीपूर्ण निर्णय लेने का माहौल है। अज्ञानता के कारण , प्रबंधक के पास प्रकृति की सभी संभावित स्थितियों को परिभाषित करने के लिए भी जानकारी का अभाव होता है, उनकी संभावनाओं को निर्धारित करना तो दूर की बात है। संभावित परिणामों की पूरी श्रृंखला अज्ञात होती है। इसे अक्सर "ब्लैक स्वान" घटना परिदृश्य कहा जाता है, जहाँ कुछ ऐसा घटित होता है जिसे पहले असंभव माना जाता था।
  • उदाहरण: 1990 के दशक के उत्तरार्ध में, ब्लॉकबस्टर जैसी एक वीडियो रेंटल कंपनी प्रतिस्पर्धियों की कीमतों और स्टोर के स्थान जैसी प्राकृतिक परिस्थितियों के आधार पर निर्णय ले रही थी। "एक डिजिटल स्ट्रीमिंग सेवा एक दशक के भीतर हमारे पूरे व्यावसायिक मॉडल को अप्रचलित कर देगी" जैसी प्राकृतिक परिस्थिति शायद उनके ध्यान में नहीं थी—यह अज्ञानता की स्थिति थी। वे इस परिणाम की संभावना से ही अनभिज्ञ थे।
  • व्यापकता: जोखिम या अनिश्चितता की तुलना में कम आम होने के बावजूद, अत्यधिक अस्थिर और नवोन्मेषी उद्योगों में अज्ञानता एक वास्तविक कारक है। यहाँ सबसे अच्छी रणनीति ऐसे चुस्त और लचीले संगठन बनाना है जो अप्रत्याशित परिस्थितियों के अनुकूल ढल सकें।

📈 सबसे प्रचलित स्थिति: जोखिम

इन चार अवस्थाओं में से, जोखिम का वातावरण कई कारणों से प्रबंधकीय अनुप्रयोगों में सबसे अधिक प्रचलित और केंद्रीय अवस्था है:
  1. डेटा की उपलब्धता: आधुनिक व्यवसाय विशाल मात्रा में ऐतिहासिक डेटा उत्पन्न करते हैं और उस तक उनकी पहुँच होती है। डेटा एनालिटिक्स और बिज़नेस इंटेलिजेंस जैसे उपकरणों के माध्यम से, प्रबंधक पिछले प्रदर्शन का विश्लेषण करके भविष्य की घटनाओं के बारे में सूचित संभाव्य पूर्वानुमान लगा सकते हैं, और निर्णय अनिश्चितता से जोखिम की ओर ले जा सकते हैं।
  2. व्यावसायिक रणनीति की नींव: वित्तीय नियोजन, विपणन विश्लेषण और संचालन प्रबंधन जैसे प्रमुख प्रबंधकीय कार्य पूर्वानुमान की नींव पर टिके होते हैं। चाहे बिक्री, ग्राहक परिवर्तन, मशीन की खराबी या आर्थिक संकेतकों का पूर्वानुमान लगाना हो, प्रबंधक अपने निर्णयों को निर्देशित करने के लिए लगातार संभावनाओं का उपयोग करते हैं।
  3. एसडीटी का प्राथमिक क्षेत्र: सांख्यिकीय निर्णय सिद्धांत के उपकरण और मानदंड—जैसे निर्णय वृक्ष, अपेक्षित मूल्य गणनाएँ, और उपयोगिता सिद्धांत—जोखिम की स्थिति में सबसे प्रभावी रूप से लागू होते हैं। यहीं पर मात्रात्मक विश्लेषण शुद्ध अंतर्ज्ञान की तुलना में सबसे अधिक मूल्य जोड़ता है।
जबकि प्रबंधकों को अक्सर अनिश्चितता का सामना करना पड़ता है और कभी-कभी अज्ञानता से जूझना पड़ता है, संरचित निर्णय लेने का बड़ा हिस्सा जोखिम के माहौल में होता है। यह वह सुखद स्थिति है जहाँ डेटा और SDT जैसे विश्लेषणात्मक ढाँचों से प्राप्त प्रबंधकीय कौशल, अप्रत्याशित भविष्य में सोच-समझकर निर्णय लेकर संगठनात्मक परिणामों में उल्लेखनीय सुधार ला सकता है।

प्रश्न:-2

एक निश्चित विनिर्माण प्रक्रिया से विद्युत फ़्यूज़ प्राप्त होते हैं, जिनमें से, लंबे समय में, 15% दोषपूर्ण होते हैं। यादृच्छिक रूप से चुने गए 10 फ़्यूज़ के नमूने में निम्नलिखित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: a) कोई दोषपूर्ण नहीं b) कम से कम एक दोषपूर्ण

उत्तर:

🧮 समाधान

चरण 1: समस्या को समझें

हम द्विपद प्रायिकता समस्या से निपट रहे हैं क्योंकि:
  • परीक्षणों की एक निश्चित संख्या होती है (n = 10 फ़्यूज़)।
  • प्रत्येक परीक्षण के दो परिणाम होते हैं: दोषपूर्ण (सफल) या दोषपूर्ण नहीं (विफलता)।
  • सफलता की संभावना (दोषपूर्ण) स्थिर है (p = 0.15).
  • ये परीक्षण स्वतंत्र हैं।
होने देना एक्स एक्स एक्सएक्सएक्स10 के नमूने में दोषपूर्ण फ़्यूज़ की संख्या होगी। फिर एक्स ∼ द्विपद ( एन = 10 , पी = 0.15 ) एक्स ∼ द्विपद ( एन = 10 , पी = 0.15 ) X∼"द्विपद"(n=10,p=0.15)X \sim \text{द्विपद}(n=10, p=0.15)एक्स∼द्विपद(एन=10,पी=0.15).
संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन (पीएमएफ) है:
पी ( एक्स = कश्मीर ) = ( 10 कश्मीर ) ( 0.15 ) कश्मीर ( 0.85 ) 10 − कश्मीर पी ( एक्स = कश्मीर ) = ( 10 कश्मीर ) ( 0.15 ) कश्मीर ( 0.85 ) 10 − कश्मीर पी(एक्स=के)=((10 )/(के))(0.15)^(के)(0.85)^(10-के)P(X = k) = \binom{10}{k} (0.15)^k (0.85)^{10-k}पी(एक्स=कश्मीर)=(10कश्मीर)(0.15)कश्मीर(0.85)10−कश्मीर
कहाँ ( 10 कश्मीर ) = 10 ! कश्मीर ! ( 10 − कश्मीर ) ! ( 10 कश्मीर ) = 10 ! कश्मीर ! ( 10 − कश्मीर ) ! ((10 )/(k))=(10!)/(k!(10-k)!)\binom{10}{k} = \frac{10!}{k!(10-k)!}(10कश्मीर)=10!कश्मीर!(10−कश्मीर)!.

🔹 भाग (क): कोई दोषपूर्ण फ़्यूज़ न होने की संभावना

हम चाहते हैं पी ( एक्स = 0 ) पी ( एक्स = 0 ) पी(एक्स=0)पी(एक्स = 0)पी(एक्स=0).
पीएमएफ का उपयोग:
पी ( एक्स = 0 ) = ( 10 0 ) ( 0.15 ) 0 ( 0.85 ) 10 = 1 ⋅ 1 ⋅ ( 0.85 ) 10 पी ( एक्स = 0 ) = ( 10 0 ) ( 0.15 ) 0 ( 0.85 ) 10 = 1 ⋅ 1 ⋅ ( 0.85 ) 10 पी(एक्स=0)=((10)/(0))(0.15)^(0)(0.85)^(10)=1*1*(0.85)^(10)पी(एक्स = 0) = \binom{10}{0} (0.15)^0 (0.85)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0.85)^{10}पी(एक्स=0)=(100)(0.15)0(0.85)10=1⋅1⋅(0.85)10
गणना ( 0.85 ) 10 ( 0.85 ) 10 (0.85)^(10)(0.85)^{10}(0.85)10:
( 0.85 ) 10 ≈ 0.196874404 ( 0.85 ) 10 ≈ 0.196874404 (0.85)^(10)~~0.196874404(0.85)^{10} \लगभग 0.196874404(0.85)10≈0.196874404
इसलिए,
पी ( एक्स = 0 ) ≈ 0.1969 पी ( एक्स = 0 ) ≈ 0.1969 पी(एक्स=0)~~0.1969P(X = 0) \लगभग 0.1969पी(एक्स=0)≈0.1969
(a) के लिए उत्तर:
दोषपूर्ण फ़्यूज़ न होने की संभावना लगभग 0.1969 है ।

🔹 भाग (b): कम से कम एक दोषपूर्ण फ्यूज की संभावना

हम चाहते हैं पी ( एक्स ≥ 1 ) पी ( एक्स ≥ 1 ) पी(एक्स >= 1)पी(एक्स \geq 1)पी(एक्स≥1).
ध्यान दें कि:
पी ( एक्स ≥ 1 ) = 1 − पी ( एक्स = 0 ) पी ( एक्स ≥ 1 ) = 1 − पी ( एक्स = 0 ) पी(एक्स >= 1)=1-पी(एक्स=0)पी(एक्स \geq 1) = 1 - पी(एक्स = 0)पी(एक्स≥1)=1−पी(एक्स=0)
भाग (क) से, पी ( एक्स = 0 ) ≈ 0.1969 पी ( एक्स = 0 ) ≈ 0.1969 पी(एक्स=0)~~0.1969P(X = 0) \लगभग 0.1969पी(एक्स=0)≈0.1969, इसलिए:
पी ( एक्स ≥ 1 ) = 1 − 0.1969 = 0.8031 पी ( एक्स ≥ 1 ) = 1 − 0.1969 = 0.8031 पी(एक्स >= 1)=1-0.1969=0.8031पी(एक्स \geq 1) = 1 - 0.1969 = 0.8031पी(एक्स≥1)=1−0.1969=0.8031
(बी) के लिए उत्तर:
कम से कम एक दोषपूर्ण फ्यूज होने की संभावना लगभग 0.8031 है ।

📊 अंतिम उत्तर:

  • a) कोई दोषपूर्ण फ़्यूज़ न होने की संभावना: 0.1969
  • b) कम से कम एक दोषपूर्ण फ्यूज की संभावना: 0.8031
ये परिणाम द्विपद वितरण के अनुरूप हैं और घटनाओं की पूरक प्रकृति को प्रदर्शित करते हैं। गणनाओं से पता चलता है कि जहाँ एक नमूने में कोई दोष न होना असामान्य नहीं है (लगभग 19.7% मामलों में), वहीं कम से कम एक दोष मिलने की संभावना कहीं अधिक होती है (लगभग 80.31% मामलों में)।

प्रश्न:-3

एक दवा निर्माण कंपनी का प्रबंधक यह अनुमान लगाना चाहता है कि भारत की वयस्क आबादी के कितने प्रतिशत लोगों को उच्च रक्तचाप है। वह 99% सुनिश्चित होना चाहता है कि उसके अनुमान की त्रुटि 0.02 से अधिक न हो। जनगणना रिपोर्ट बताती है कि लगभग 0.20 प्रतिशत वयस्कों को उच्च रक्तचाप है। उसे कितने नमूने लेने चाहिए?

उत्तर:

📊 अनुपात का अनुमान लगाने के लिए आवश्यक नमूना आकार का निर्धारण

चरण 1: समस्या को समझें

प्रबंधक अनुपात का अनुमान लगाना चाहता है पी पी पीपीपीभारत में उच्च रक्तचाप से पीड़ित वयस्कों की संख्या। उन्हें निम्न की आवश्यकता है:
  • 99 % आत्मविश्वास का स्तर .
  • त्रुटि का मार्जिन (E) 0.02 से अधिक नहीं ।
  • पूर्व सूचना से पता चलता है पी ≈ 0.20 पी ≈ 0.20 पी~~0.20p \लगभग 0.20पी≈0.20.
हमें नमूने का आकार ज्ञात करना है एन एन एनएनएनजो इन शर्तों को पूरा करता है.

चरण 2: नमूना आकार (अनुपात) के लिए सूत्र याद करें

त्रुटि के निर्दिष्ट मार्जिन के साथ जनसंख्या अनुपात का अनुमान लगाने के लिए नमूना आकार निर्धारित करने का सूत्र है:
एन = ( जेड α / 2 ई ) 2 ⋅ पी ⋅ ( 1 − पी ) एन = जेड α / 2 ई 2 ⋅ पी ⋅ ( 1 − पी ) n=((z_(alpha//2))/(E))^(2)*p*(1-p)n = \left( \frac{z_{\alpha/2}}{E} \right)^2 \cdot p \cdot (1 - p)एन=(जेडα/2ई)2⋅पी⋅(1−पी)
कहाँ:
  • जेड α / 2 जेड α / 2 z_(अल्फा//2)z_{\अल्फा/2}जेडα/2वांछित आत्मविश्वास स्तर के लिए महत्वपूर्ण मूल्य है।
  • ई ई ईईईत्रुटि का मार्जिन है.
  • पी पी पीपीपीअनुमानित अनुपात (पूर्व ज्ञान से) है।
  • ( 1 − पी ) ( 1 − पी ) (1-पी)(1 - पी)(1−पी)का पूरक है पी पी पीपीपी.

चरण 3: महत्वपूर्ण मान ज्ञात करें जेड α / 2 जेड α / 2 z_(अल्फा//2)z_{\अल्फा/2}जेडα/2

99% विश्वास स्तर के लिए, महत्व स्तर α = 0.01 α = 0.01 अल्फा=0.01\अल्फा = 0.01α=0.01।
इस प्रकार, α / 2 = 0.005 α / 2 = 0.005 अल्फा//2=0.005\अल्फा/2 = 0.005α/2=0.005.
महत्वपूर्ण मूल्य जेड 0.005 जेड 0.005 z_(0.005)z_{0.005}जेड0.005z-स्कोर वह है जो मानक सामान्य वितरण के प्रत्येक पुच्छ में 0.5% छोड़ता है। मानक सामान्य तालिकाओं से:
जेड 0.005 ≈ 2.576 जेड 0.005 ≈ 2.576 z_(0.005)~~2.576z_{0.005} \लगभग 2.576जेड0.005≈2.576

चरण 4: सूत्र में मान डालें

दिया गया:
  • ई = 0.02 ई = 0.02 ई=0.02ई = 0.02ई=0.02
  • पी = 0.20 पी = 0.20 पी=0.20पी = 0.20पी=0.20
  • 1 − पी = 0.80 1 − पी = 0.80 1-पी=0.801 - पी = 0.801−पी=0.80
  • जेड α / 2 = 2.576 जेड α / 2 = 2.576 z_(अल्फा//2)=2.576z_{\alpha/2} = 2.576जेडα/2=2.576
सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
एन = ( 2.576 0.02 ) 2 ⋅ ( 0.20 ) ⋅ ( 0.80 ) एन = 2.576 0.02 2 ⋅ ( 0.20 ) ⋅ ( 0.80 ) एन=((2.576)/(0.02))^(2)*(0.20)*(0.80)n = \left( \frac{2.576}{0.02} \right)^2 \cdot (0.20) \cdot (0.80)एन=(2.5760.02)2⋅(0.20)⋅(0.80)
सबसे पहले, गणना करें 2.576 0.02 2.576 0.02 (2.576)/(0.02)\frac{2.576}{0.02}2.5760.02:
2.576 0.02 = 128.8 2.576 0.02 = 128.8 (2.576)/(0.02)=128.8\frac{2.576}{0.02} = 128.82.5760.02=128.8
अब इसका वर्ग करें:
( 128.8 ) 2 = 16589.44 ( 128.8 ) 2 = 16589.44 (128.8)^(2)=16589.44(128.8)^2 = 16589.44(128.8)2=16589.44
गुणा करके पी ⋅ ( 1 − पी ) पी ⋅ ( 1 − पी ) पी*(1-पी)पी \cdot (1 - पी)पी⋅(1−पी):
एन = 16589.44 ⋅ ( 0.20 ⋅ 0.80 ) = 16589.44 ⋅ 0.16 = 2654.3104 एन = 16589.44 ⋅ ( 0.20 ⋅ 0.80 ) = 16589.44 ⋅ 0.16 = 2654.3104 एन=16589.44*(0.20*0.80)=16589.44*0.16=2654.3104n = 16589.44 \cdot (0.20 \cdot 0.80) = 16589.44 \cdot 0.16 = 2654.3104एन=16589.44⋅(0.20⋅0.80)=16589.44⋅0.16=2654.3104

चरण 5: निकटतम पूर्ण संख्या तक पूर्णांकित करें

चूंकि नमूना आकार एक पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए हम इसे ऊपर की ओर पूर्णांकित करते हैं:
एन = 2655 एन = 2655 एन=2655एन = 2655एन=2655

✅ अंतिम उत्तर:

प्रबंधक को 2655 वयस्कों का नमूना लेना चाहिए ताकि 99% आश्वस्त हो सकें कि उच्च रक्तचाप के अनुपात का अनुमान लगाने में त्रुटि 0.02 से अधिक नहीं है।

प्रश्न:-4

सामान्य रूप से वितरित ज्ञात 1000 प्रेक्षणों के एक समूह के लिए, माध्य 534 सेमी और मानक विचलन 13.5 सेमी है। कितने प्रेक्षण 561 सेमी से अधिक होने की संभावना है? कितने प्रेक्षण 520.5 और 547.5 सेमी के बीच होंगे?

उत्तर:

आइये इस समस्या का चरण दर चरण विश्लेषण करें:
दिया गया:
  • अवलोकनों की संख्या, एन = 1000 एन = 1000 एन=1000एन = 1000एन=1000
  • अर्थ, μ = 534 μ = 534 म्यू=534\mu = 534μ=534सेमी
  • मानक विचलन, σ = 13.5 σ = 13.5 सिग्मा=13.5\सिग्मा = 13.5σ=13.5सेमी
  • अवलोकन सामान्य रूप से वितरित हैं।
हमें यह पता लगाना होगा:
  1. प्रेक्षणों की संख्या 561 सेमी से अधिक होने की संभावना है।
  2. 520.5 सेमी और 547.5 सेमी के बीच अवलोकनों की संख्या।

चरण 1: Z-स्कोर का उपयोग करके मानों को मानकीकृत करें

Z-स्कोर निम्न प्रकार से दिया जाता है:
जेड = एक्स − μ σ जेड = एक्स − μ σ Z=(X-mu)/(सिग्मा)Z = \frac{X - \mu}{\sigma}जेड=एक्स−μσ

भाग 1: 561 सेमी से अधिक के अवलोकन

सबसे पहले, Z-स्कोर ज्ञात करें एक्स = 561 एक्स = 561 एक्स=561एक्स = 561एक्स=561:
जेड 1 = 561 − 534 13.5 = 27 13.5 = 2 जेड 1 = 561 − 534 13.5 = 27 13.5 = 2 Z_(1)=(561-534)/(13.5)=(27)/(13.5)=2Z_1 = \frac{561 - 534}{13.5} = \frac{27}{13.5} = 2जेड1=561−53413.5=2713.5=2
इसलिए, पी ( एक्स > 561 ) = पी ( जेड > 2 ) पी ( एक्स > 561 ) = पी ( जेड > 2 ) पी(एक्स > 561)=पी(जेड > 2)पी(एक्स > 561) = पी(जेड > 2)पी(एक्स>561)=पी(जेड>2)
मानक सामान्य वितरण तालिका से:
  • पी ( जेड ≤ 2 ) = 0.9772 पी ( जेड ≤ 2 ) = 0.9772 पी(जेड <= 2)=0.9772पी(Z \leq 2) = 0.9772पी(जेड≤2)=0.9772
  • इसलिए, पी ( जेड > 2 ) = 1 − 0.9772 = 0.0228 पी ( जेड > 2 ) = 1 − 0.9772 = 0.0228 पी(जेड > 2)=1-0.9772=0.0228पी(जेड > 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228पी(जेड>2)=1−0.9772=0.0228
इस प्रकार, 561 सेमी से अधिक अवलोकनों की संख्या है:
1000 × 0.0228 = 22.8 ≈ 23 1000 × 0.0228 = 22.8 ≈ 23 1000 xx0.0228=22.8~~231000 \times 0.0228 = 22.8 \लगभग 231000×0.0228=22.8≈23

भाग 2: 520.5 सेमी और 547.5 सेमी के बीच अवलोकन

दोनों सीमाओं के लिए Z-स्कोर ज्ञात कीजिए।
के लिए एक्स 1 = 520.5 एक्स 1 = 520.5 X_(1)=520.5X_1 = 520.5एक्स1=520.5:
जेड 1 = 520.5 − 534 13.5 = − 13.5 13.5 = − 1 जेड 1 = 520.5 − 534 13.5 = − 13.5 13.5 = − 1 Z_(1)=(520.5-534)/(13.5)=(-13.5)/(13.5)=-1Z_1 = \frac{520.5 - 534}{13.5} = \frac{-13.5}{13.5} = -1जेड1=520.5−53413.5=−13.513.5=−1
के लिए एक्स 2 = 547.5 एक्स 2 = 547.5 X_(2)=547.5X_2 = 547.5एक्स2=547.5:
जेड 2 = 547.5 − 534 13.5 = 13.5 13.5 = 1 जेड 2 = 547.5 − 534 13.5 = 13.5 13.5 = 1 Z_(2)=(547.5-534)/(13.5)=(13.5)/(13.5)=1Z_2 = \frac{547.5 - 534}{13.5} = \frac{13.5}{13.5} = 1जेड2=547.5−53413.5=13.513.5=1
इसलिए, पी ( 520.5 < एक्स < 547.5 ) = पी ( − 1 < जेड < 1 ) पी ( 520.5 < एक्स < 547.5 ) = पी ( − 1 < जेड < 1 ) पी(520.5 < एक्स < 547.5)=पी(-1 < जेड < 1)P(520.5 < X < 547.5) = P(-1 < Z < 1)पी(520.5<एक्स<547.5)=पी(−1<जेड<1)
मानक सामान्य वितरण तालिका से:
  • P ( Z ≤ 1 ) = 0.8413 P ( Z ≤ 1 ) = 0.8413 P(Z <= 1)=0.8413P(Z \leq 1) = 0.8413पी(जेड≤1)=0.8413
  • P ( Z ≤ − 1 ) = 0.1587 P ( Z ≤ − 1 ) = 0.1587 P(Z <= -1)=0.1587P(Z \leq -1) = 0.1587पी(जेड≤−1)=0.1587
  • इसलिए, P ( − 1 < Z < 1 ) = 0.8413 − 0.1587 = 0.6826 P ( − 1 < Z < 1 ) = 0.8413 − 0.1587 = 0.6826 P(-1 < Z < 1)=0.8413-0.1587=0.6826P(-1 < Z < 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826पी(−1<जेड<1)=0.8413−0.1587=0.6826
इस प्रकार, 520.5 सेमी और 547.5 सेमी के बीच अवलोकनों की संख्या है:
1000 × 0.6826 = 682.6 ≈ 683 1000 × 0.6826 = 682.6 ≈ 683 1000 xx0.6826=682.6~~6831000 \times 0.6826 = 682.6 \approx 6831000×0.6826=682.6≈683

अंतिम उत्तर:

  • 561 सेमी से अधिक होने की संभावना वाले प्रेक्षणों की संख्या: 23 23 23\boxed{23}23
  • 520.5 सेमी और 547.5 सेमी के बीच अवलोकनों की संख्या: 683 683 683\boxed{683}683

प्रश्न:-5

निम्नलिखित में से किन्हीं तीन पर संक्षिप्त टिप्पणियाँ लिखें: a) महत्व का स्तर b) चतुर्थक विचलन c) आशावाद का मानदंड d) असमानुपातिक स्तरीकृत प्रतिचयन e) न्यूनतम वर्ग मानदंड

उत्तर:

📊 a) महत्व का स्तर

सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण में, महत्व का स्तर (जिसे α के रूप में दर्शाया गया है ) एक सच्ची शून्य परिकल्पना को खारिज करने की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे टाइप I त्रुटि के रूप में भी जाना जाता है । यह यह निर्धारित करने के लिए एक सीमा के रूप में कार्य करता है कि क्या देखा गया डेटा शून्य परिकल्पना को खारिज करने के लिए पर्याप्त सबूत प्रदान करता है। α के लिए सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले मान 0.05, 0.01 या 0.10 हैं, जो एक सच्ची परिकल्पना को गलत तरीके से खारिज करने के 5%, 1% या 10% जोखिम को दर्शाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि α = 0.05 है, तो महत्वपूर्ण प्रभाव के निष्कर्ष निकालने की 5% संभावना है, जबकि कोई प्रभाव मौजूद नहीं है। α का चुनाव संदर्भ पर निर्भर करता है: चिकित्सा जैसे सख्त क्षेत्र झूठी सकारात्मकता को कम करने के लिए α = 0.01 का उपयोग कर सकते हैं, जबकि सामाजिक विज्ञान α = 0.05 का उपयोग कर सकते हैं

📐 b) चतुर्थक विचलन

चतुर्थक विचलन (QD), जिसे अर्ध-अंतरचतुर्थक परास भी कहा जाता है , सांख्यिकीय फैलाव का एक माप है जो माध्यिका के चारों ओर आँकड़ों के प्रसार का वर्णन करता है। इसकी गणना ऊपरी चतुर्थक (Q₃) और निचले चतुर्थक (Q₁) के बीच के अंतर के आधे के रूप में की जाती है:
Q D = Q ₃ − Q ₁ 2 Q D = Q ₃ − Q ₁ 2 QD=(Q₃-Q₁)/(2)QD = \frac{Q₃ - Q₁}{2}क्यूडी=क्यू₃−क्यू₁2
रेंज के विपरीत, जो आउटलायर्स के प्रति संवेदनशील होती है, QD डेटा के केंद्रीय 50% पर केंद्रित होता है, जिससे यह विषम वितरणों के लिए मज़बूत बनता है। उदाहरण के लिए, आय के एक डेटासेट में जहाँ Q₁ = ₹30,000 और Q₃ = ₹80,000 है, QD = ₹25,000 है, जो मध्यम परिवर्तनशीलता दर्शाता है। यह अर्थशास्त्र और समाजशास्त्र में आय असमानता या परीक्षा स्कोर वितरण को सारांशित करने के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, बिना चरम मानों के अंतर्दृष्टि को विकृत किए।

🧮 ई) न्यूनतम वर्ग मानदंड

न्यूनतम वर्ग मानदंड, समाश्रयण विश्लेषण का एक मूलभूत सिद्धांत है जिसका उपयोग अवलोकित और अनुमानित मानों के बीच वर्ग अंतर के योग को न्यूनतम करके अवलोकित आँकड़ों में एक मॉडल को फिट करने के लिए किया जाता है। समाश्रयण रेखा के लिए y = m x + c y = m x + c y=mx+cy = mx + cय=एमएक्स+सी, लक्ष्य पैरामीटर ढूंढना है m m mmएमऔर c c ccसीजो न्यूनतम करते हैं:
∑ ( y i − y ^ i ) 2 ∑ ( y i − y ^ i ) 2 sum(y_(i)- hat(y)_(i))^(2)\sum (y_i - \hat{y}_i)^2∑(यमैं−य^मैं)2
कहाँ y i y i y_(i)y_iयमैंवास्तविक मूल्य है और y ^ i y ^ i hat(y)_(i)\hat{y}_iय^मैंअनुमानित मान है। यह विधि कुछ मान्यताओं के तहत सर्वोत्तम रैखिक निष्पक्ष अनुमानक (BLUE) सुनिश्चित करती है, जिससे इष्टतम परिशुद्धता प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, वर्ग फ़ुटेज के आधार पर घर की कीमतों का अनुमान लगाने में, न्यूनतम वर्ग समाश्रयण मूल्य अनुमानों में त्रुटियों को न्यूनतम करता है। प्रवृत्ति विश्लेषण और पूर्वानुमान के लिए इसका व्यापक रूप से अर्थमिति, इंजीनियरिंग और डेटा विज्ञान जैसे क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है।

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