खण्ड-A / SECTION-A
1. (a) माना किf:[0,(pi)/(2)]rarrRf:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R} एक संतत फलन है, जैसा कि
f(x)=(cos^(2)x)/(4x^(2)-pi^(2)),quad0 <= x < (pi)/(2)f(x)=\frac{\cos ^2 x}{4 x^2-\pi^2}, \quad 0 \leq x<\frac{\pi}{2}
f((pi)/(2))f\left(\frac{\pi}{2}\right) का मान ज्ञात कीजिए।
Let f:[0,(pi)/(2)]rarrRf:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R} be a continuous function such that
f(x)=(cos^(2)x)/(4x^(2)-pi^(2)),quad0 <= x < (pi)/(2)f(x)=\frac{\cos ^2 x}{4 x^2-\pi^2}, \quad 0 \leq x<\frac{\pi}{2}
Find the value of f((pi)/(2))f\left(\frac{\pi}{2}\right).
(b) माना कि f:D(subeR^(2))rarrRf: D\left(\subseteq \mathbb{R}^2\right) \rightarrow \mathbb{R} एक फलन है और (a,b)in D(a, b) \in D. अगर f(x,y)f(x, y) बिंदु (a,b)(a, b) पर संतत है, तो दर्शाइए कि फलन f(x,b)f(x, b) और f(a,y)f(a, y) क्रमशः x=ax=a और y=by=b पर संतत हैं।
Let f:D(subeR^(2))rarrRf: D\left(\subseteq \mathbb{R}^2\right) \rightarrow \mathbb{R} be a function and (a,b)in D(a, b) \in D. If f(x,y)f(x, y) is continuous at (a,b)(a, b), then show that the functions f(x,b)f(x, b) and f(a,y)f(a, y) are continuous at x=ax=a and at y=by=b respectively.
(c) माना कि T:R^(2)rarrR^(2)T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 एक रैखिक प्रतिचित्र है, जैसा कि T(2,1)=(5,7)T(2,1)=(5,7) एवं T(1,2)=(3,3)T(1,2)=(3,3). अगर AA मानक आधारों e_(1),e_(2)e_1, e_2 के सापेक्ष TT के संगत आव्यूह है, तो AA की कोटि ज्ञात कीजिए।
Let T:R^(2)rarrR^(2)T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 be a linear map such that T(2,1)=(5,7)T(2,1)=(5,7) and T(1,2)=(3,3)T(1,2)=(3,3).
If AA is the matrix corresponding to TT with respect to the standard bases e_(1),e_(2)e_1, e_2, then find Rank(A)\operatorname{Rank}(A).
(d) अगर
A=[[1,2,1],[1,-4,1],[3,0,-3]]” और “B=[[2,1,1],[1,-1,0],[2,1,-1]]A=\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 1 \\
1 & -4 & 1 \\
3 & 0 & -3
\end{array}\right] \text { और } B=\left[\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 0 \\
2 & 1 & -1
\end{array}\right]और
है, तो दर्शाइए कि AB=6I_(3)A B=6 I_3. इस परिणाम का उपयोग करते हुए निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए :
{:[2x+y+z=5],[x-y=0],[2x+y-z=1]:}\begin{array}{r}
2 x+y+z=5 \\
x-y=0 \\
2 x+y-z=1
\end{array}
If
A=[[1,2,1],[1,-4,1],[3,0,-3]]quad” and “B=[[2,1,1],[1,-1,0],[2,1,-1]]A=\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 1 \\
1 & -4 & 1 \\
3 & 0 & -3
\end{array}\right] \quad \text { and } B=\left[\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 0 \\
2 & 1 & -1
\end{array}\right]
then show that AB=6I_(3)A B=6 I_3. Use this result to solve the following system of equations :
{:[2x+y+z=5],[x-y=0],[2x+y-z=1]:}\begin{array}{r}
2 x+y+z=5 \\
x-y=0 \\
2 x+y-z=1
\end{array}
(e) दर्शाइए कि
(x+1)/(-3)=(y-3)/(2)=(z+2)/(1)” और “(x)/(1)=(y-7)/(-3)=(z+7)/(2)\frac{x+1}{-3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+2}{1} \text { और } \frac{x}{1}=\frac{y-7}{-3}=\frac{z+7}{2}और
प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं। प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांकों और उस समतल, जिसमें दोनों रेखाएँ हैं, का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Show that the lines
(x+1)/(-3)=(y-3)/(2)=(z+2)/(1)” and “(x)/(1)=(y-7)/(-3)=(z+7)/(2)\frac{x+1}{-3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+2}{1} \text { and } \frac{x}{1}=\frac{y-7}{-3}=\frac{z+7}{2}
intersect. Find the coordinates of the point of intersection and the equation of the plane containing them.
2(a) क्या f(x)=|cos x|+|sin x|,x=(pi)/(2)f(x)=|\cos x|+|\sin x|, x=\frac{\pi}{2} पर अवकलनीय है? अगर आपका उत्तर हाँ है, तो f(x)f(x) का अवकलज x=(pi)/(2)x=\frac{\pi}{2} पर ज्ञात कीजिए। अगर आपका उत्तर ना है, तो अपने उत्तर का प्रमाण दीजिए।
Is f(x)=|cos x|+|sin x|f(x)=|\cos x|+|\sin x| differentiable at x=(pi)/(2)x=\frac{\pi}{2} ? If yes, then find its derivative at x=(pi)/(2)x=\frac{\pi}{2}. If no, then give a proof of it.
(b) माना कि AA और BB समान कोटि के दो लांबिक आव्यूह हैं तथा det A+det B=0\operatorname{det} A+\operatorname{det} B=0. दर्शाइए कि A+BA+B एक अव्युत्क्रमणीय (सिंगुलर) आव्यूह है।
Let AA and BB be two orthogonal matrices of same order and det A+det B=0\operatorname{det} A+\operatorname{det} B=0. Show that A+BA+B is a singular matrix.
(c) (i) समतल x+2y+3z=12x+2 y+3 z=12 निर्देशांक अक्षों को A,B,CA, B, C पर प्रतिच्छेद करता है। त्रिभुज ABCA B C के परिवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(ii) सिद्ध कीजिए कि समतल z=0z=0 गोलक x^(2)+y^(2)+z^(2)=11x^2+y^2+z^2=11 के अन्वालोपी शंकु, जिसका शीर्ष (2,4,1)(2,4,1) पर है, को एक समकोणीय अतिपरवलय पर प्रतिच्छेद करता है।
(i) The plane x+2y+3z=12x+2 y+3 z=12 cuts the axes of coordinates in A,B,CA, B, C. Find the equations of the circle circumscribing the triangle ABCA B C.
(ii) Prove that the plane z=0z=0 cuts the enveloping cone of the sphere x^(2)+y^(2)+z^(2)=11x^2+y^2+z^2=11 which has the vertex at (2,4,1)(2,4,1) in a rectangular hyperbola.
3(a) फलन f(x)=2x^(3)-9x^(2)+12 x+6f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x+6 का अंतराल [2,3][2,3] पर अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
Find the maximum and the minimum value of the function f(x)=2x^(3)-9x^(2)+12 x+6f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x+6 on the interval [2,3][2,3].
(b) सिद्ध कीजिए कि साधारणतः किसी एक बिंदु से परवलयज x^(2)+y^(2)=2azx^2+y^2=2 a z पर तीन अभिलंब बनाए जा सकते हैं, लेकिन अगर बिंदु सतह 27 a(x^(2)+y^(2))+8(a-z)^(3)=027 a\left(x^2+y^2\right)+8(a-z)^3=0 पर स्थित है, तो इन तीन अभिलंबों में से दो अभिलंब एक ही हैं।
Prove that, in general, three normals can be drawn from a given point to the paraboloid x^(2)+y^(2)=2azx^2+y^2=2 a z, but if the point lies on the surface
27 a(x^(2)+y^(2))+8(a-z)^(3)=027 a\left(x^2+y^2\right)+8(a-z)^3=0
then two of the three normals coincide.
(c) माना कि
A=([5,7,2,1],[1,1,-8,1],[2,3,5,0],[3,4,-3,1])A=\left(\begin{array}{rrrr}
5 & 7 & 2 & 1 \\
1 & 1 & -8 & 1 \\
2 & 3 & 5 & 0 \\
3 & 4 & -3 & 1
\end{array}\right)
(i) आव्यूह AA की कोटि ज्ञात कीजिए।
(ii) उपसमष्टि
V={(x_(1),x_(2),x_(3),x_(4))inR^(4)∣A([x_(1)],[x_(2)],[x_(3)],[x_(4)])=0}V=\left\{\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right) \in \mathbb{R}^4 \mid A\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{array}\right)=0\right\}
की विमा ज्ञात कीजिए।
Let
A=([5,7,2,1],[1,1,-8,1],[2,3,5,0],[3,4,-3,1])A=\left(\begin{array}{rrrr}
5 & 7 & 2 & 1 \\
1 & 1 & -8 & 1 \\
2 & 3 & 5 & 0 \\
3 & 4 & -3 & 1
\end{array}\right)
(i) Find the rank of matrix AA.
(ii) Find the dimension of the subspace
V={(x_(1),x_(2),x_(3),x_(4))inR^(4)∣A([x_(1)],[x_(2)],[x_(3)],[x_(4)])=0}V=\left\{\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right) \in \mathbb{R}^4 \mid A\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{array}\right)=0\right\}
4(a) कैले-हैमिल्टन प्रमेय का कथन लिखिए। इस प्रमेय का उपयोग करके A^(100)A^{100} का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ
A=[[1,0,0],[1,0,1],[0,1,0]]A=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right]
State the Cayley-Hamilton theorem. Use this theorem to find A^(100)A^{100}, where
A=[[1,0,0],[1,0,1],[0,1,0]]A=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right]
(b) बिंदु PP से गुजरने वाली दीर्घवृत्तज
(x^(2))/(a^(2))+(y^(2))/(b^(2))+(z^(2))/(c^(2))=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1
की अभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए और सिद्ध कीजिए कि अगर यह 4PG_(3)4 P G_3 के समान है, जहाँ G_(3)G_3 वह बिंदु है जहाँ PP से गुजरने वाली अभिलंब जीवा xyx y-तल पर मिलती है, तो PP शंकु
(x^(2))/(a^(6))(2c^(2)-a^(2))+(y^(2))/(b^(6))(2c^(2)-b^(2))+(z^(2))/(c^(4))=0\frac{x^2}{a^6}\left(2 c^2-a^2\right)+\frac{y^2}{b^6}\left(2 c^2-b^2\right)+\frac{z^2}{c^4}=0
पर स्थित है।
Find the length of the normal chord through a point PP of the ellipsoid
(x^(2))/(a^(2))+(y^(2))/(b^(2))+(z^(2))/(c^(2))=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1
and prove that if it is equal to 4PG_(3)4 P G_3, where G_(3)G_3 is the point where the normal chord through PP meets the xyx y-plane, then PP lies on the cone
(x^(2))/(a^(6))(2c^(2)-a^(2))+(y^(2))/(b^(6))(2c^(2)-b^(2))+(z^(2))/(c^(4))=0\frac{x^2}{a^6}\left(2 c^2-a^2\right)+\frac{y^2}{b^6}\left(2 c^2-b^2\right)+\frac{z^2}{c^4}=0
(c) (i) अगर
u=sin^(-1)sqrt((x^(1//3)+y^(1//3))/(x^(1//2)+y^(1//2)))u=\sin ^{-1} \sqrt{\frac{x^{1 / 3}+y^{1 / 3}}{x^{1 / 2}+y^{1 / 2}}}
है, तो दर्शाइए कि sin^(2)u,x\sin ^2 u, x और yy का -(1)/(6)-\frac{1}{6} घातविशिष्ट समांगी फलन है। अतएव दर्शाइए कि
x^(2)(del^(2)u)/(delx^(2))+2xy(del^(2)u)/(del x del y)+y^(2)(del^(2)u)/(dely^(2))=(tan u)/(12)((13)/(12)+(tan^(2)u)/(12))x^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2 x y \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac{\tan u}{12}\left(\frac{13}{12}+\frac{\tan ^2 u}{12}\right)
(ii) जैकोबियन विधि का व्यवहार करते हुए दर्शाइए कि अगर f^(‘)(x)=(1)/(1+x^(2))f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^2} और f(0)=0f(0)=0 है, तो
f(x)+f(y)=f((x+y)/(1-xy))f(x)+f(y)=f\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)
(i) If
u=sin^(-1)sqrt((x^(1//3)+y^(1//3))/(x^(1//2)+y^(1//2)))u=\sin ^{-1} \sqrt{\frac{x^{1 / 3}+y^{1 / 3}}{x^{1 / 2}+y^{1 / 2}}}
then show that sin^(2)u\sin ^2 u is a homogeneous function of xx and yy of degree -(1)/(6)-\frac{1}{6}.
Hence show that
x^(2)(del^(2)u)/(delx^(2))+2xy(del^(2)u)/(del x del y)+y^(2)(del^(2)u)/(dely^(2))=(tan u)/(12)((13)/(12)+(tan^(2)u)/(12))x^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2 x y \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac{\tan u}{12}\left(\frac{13}{12}+\frac{\tan ^2 u}{12}\right)
(ii) Using the Jacobian method, show that if f^(‘)(x)=(1)/(1+x^(2))f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^2} and f(0)=0f(0)=0, then
f(x)+f(y)=f((x+y)/(1-xy))f(x)+f(y)=f\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)
खण्ड-B / SECTION-B
5(a) अवकल समीकरण
(2y sin x+3y^(4)sin x cos x)dx-(4y^(3)cos^(2)x+cos x)dy=0\left(2 y \sin x+3 y^4 \sin x \cos x\right) d x-\left(4 y^3 \cos ^2 x+\cos x\right) d y=0
को हल कीजिए।
Solve the differential equation
(2y sin x+3y^(4)sin x cos x)dx-(4y^(3)cos^(2)x+cos x)dy=0\left(2 y \sin x+3 y^4 \sin x \cos x\right) d x-\left(4 y^3 \cos ^2 x+\cos x\right) d y=0
(b) अवकल समीकरण
(d^(2)y)/(dx^(2))-4(dy)/(dx)+4y=3x^(2)e^(2x)sin 2x\frac{d^2 y}{d x^2}-4 \frac{d y}{d x}+4 y=3 x^2 e^{2 x} \sin 2 x
का पूर्ण हल ज्ञात कीजिए।
Determine the complete solution of the differential equation
(d^(2)y)/(dx^(2))-4(dy)/(dx)+4y=3x^(2)e^(2x)sin 2x\frac{d^2 y}{d x^2}-4 \frac{d y}{d x}+4 y=3 x^2 e^{2 x} \sin 2 x
(c) एक भारी एकसमान छड़ ABA B का एक सिरा एक रूक्ष क्षैतिज छड़ ACA C, जिसके साथ वह वलय (रिंग) के द्वारा जुड़ी हुई है, पर सरक सकती है। BB एवं CC एक रस्सी से जुड़े हैं। जब छड़ सर्पण बिंदु पर है, तब AC^(2)-AB^(2)=BC^(2)A C^2-A B^2=B C^2 है। यदि क्षैतिज रेखा व ABA B के बीच का कोण theta\theta है, तो सिद्ध कीजिए कि घर्षण गुणांक (cot theta)/(2+cot^(2)theta)\frac{\cot \theta}{2+\cot ^2 \theta} है।
One end of a heavy uniform rod ABA B can slide along a rough horizontal rod ACA C, to which it is attached by a ring. BB and CC are joined by a string. When the rod is on the point of sliding, then AC^(2)-AB^(2)=BC^(2)A C^2-A B^2=B C^2. If theta\theta is the angle between ABA B and the horizontal line, then prove that the coefficient of friction is (cot theta)/(2+cot^(2)theta)\frac{\cot \theta}{2+\cot ^2 \theta}.
(d) एक कण का पृथ्वी द्वारा आकर्षण बल उस कण के पृथ्वी के केन्द्र से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है। एक कण, जिसका भार पृथ्वी की सतह पर WW है, सतह से 3h3 h ऊँचाई से पृथ्वी की सतह पर गिरता है। दर्शाइए कि पृथ्वी के आकर्षण बल द्वारा किए गए कार्य का परिमाण (3)/(4)hW\frac{3}{4} h W है, जहाँ hh पृथ्वी की त्रिज्या है।
The force of attraction of a particle by the earth is inversely proportional to the square of its distance from the earth’s centre. A particle, whose weight on the surface of the earth is WW, falls to the surface of the earth from a height 3h3 h above it. Show that the magnitude of work done by the earth’s attraction force is (3)/(4)hW\frac{3}{4} h W, where hh is the radius of the earth.
(e) वक्र x=t,y=t^(2),z=t^(3)x=t, y=t^2, z=t^3 के बिंदु (1,1,1)(1,1,1) पर स्पर्श-रेखा की दिशा में फलन xy^(2)+yz^(2)+zx^(2)x y^2+y z^2+z x^2 का दिशात्मक अवकलज ज्ञात कीजिए।
Find the directional derivative of the function xy^(2)+yz^(2)+zx^(2)x y^2+y z^2+z x^2 along the tangent to the curve x=t,y=t^(2),z=t^(3)x=t, y=t^2, z=t^3 at the point (1,1,1)(1,1,1).
6(a) एक पिण्ड एक शंकु और उसके नीचे अर्धगोले से बना है। शंकु के आधार तथा अर्धगोले के शिखर का अर्धव्यास aa है। पूरा पिण्ड एक रूक्ष क्षैतिज मेज पर रखा है, जिसका अर्धगोला मेज को स्पर्श करता है। दर्शाइए कि शंकु की अधिकतम ऊँचाई, जिससे कि साम्यावस्था स्थिर बनी रहे, sqrt3a\sqrt{3} a है।
A body consists of a cone and underlying hemisphere. The base of the cone and the top of the hemisphere have same radius aa. The whole body rests on a rough horizontal table with hemisphere in contact with the table. Show that the greatest height of the cone, so that the equilibrium may be stable, is sqrt3a\sqrt{3} a.
(b) वक्र CC के चारों तरफ vec(F)\vec{F} का परिसंचरण ज्ञात कीजिए, जहाँ vec(F)=(2x+y^(2)) hat(i)+(3y-4x) hat(j)\vec{F}=\left(2 x+y^2\right) \hat{i}+(3 y-4 x) \hat{j} और CC, बिंदु (0,0)(0,0) से बिंदु (1,1)(1,1) तक वक्र y=x^(2)y=x^2 के द्वारा तथा बिंदु (1,1)(1,1) से बिंदु (0,0)(0,0) तक वक्र y^(2)=xy^2=x के द्वारा परिभाषित है।
Find the circulation of vec(F)\vec{F} round the curve CC, where vec(F)=(2x+y^(2)) hat(i)+(3y-4x) hat(j)\vec{F}=\left(2 x+y^2\right) \hat{i}+(3 y-4 x) \hat{j} and CC is the curve y=x^(2)y=x^2 from (0,0)(0,0) to (1,1)(1,1) and the curve y^(2)=xy^2=x from (1,1)(1,1) to (0,0)(0,0).
(c) (i) अवकल समीकरण
(d^(2)y)/(dx^(2))+(3sin x-cot x)(dy)/(dx)+2ysin^(2)x=e^(-cos x)sin^(2)x\frac{d^2 y}{d x^2}+(3 \sin x-\cot x) \frac{d y}{d x}+2 y \sin ^2 x=e^{-\cos x} \sin ^2 x
को हल कीजिए।
(ii) t^(-1//2)t^{-1 / 2} तथा t^(1//2)t^{1 / 2} का लाप्लास रूपांतर ज्ञात कीजिए। सिद्ध कीजिए कि t^(n+(1)/(2))t^{n+\frac{1}{2}} का लाप्लास रूपांतर
(Gamma(n+1+(1)/(2)))/(s^(n+1+(1)/(2)))\frac{\Gamma\left(n+1+\frac{1}{2}\right)}{s^{n+1+\frac{1}{2}}}
होता है, जहाँ n inNn \in \mathbf{N}.
(i) Solve the differential equation
(d^(2)y)/(dx^(2))+(3sin x-cot x)(dy)/(dx)+2ysin^(2)x=e^(-cos x)sin^(2)x\frac{d^2 y}{d x^2}+(3 \sin x-\cot x) \frac{d y}{d x}+2 y \sin ^2 x=e^{-\cos x} \sin ^2 x
(ii) Find the Laplace transforms of t^(-1//2)t^{-1 / 2} and t^(1//2)t^{1 / 2}. Prove that the Laplace transform of t^(n+(1)/(2))t^{n+\frac{1}{2}}, where n inNn \in \mathbb{N}, is
(Gamma(n+1+(1)/(2)))/(s^(n+1+(1)/(2)))\frac{\Gamma\left(n+1+\frac{1}{2}\right)}{s^{n+1+\frac{1}{2}}}
7(a) समीकरण x^(2)y^(”)-2xy^(‘)+2y=x^(3)sin xx^2 y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=x^3 \sin x के संगत समांगी अवकल समीकरण का रेखीय स्वतंत्र हल निकालिए और तब दिए गए समीकरण का प्राचल-विचरण विधि द्वारा सामान्य हल निकालिए।
Find the linearly independent solutions of the corresponding homogeneous differential equation of the equation x^(2)y^(”)-2xy^(‘)+2y=x^(3)sin xx^2 y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=x^3 \sin x and then find the general solution of the given equation by the method of variation of parameters.
(b) कुंडलिनी x=a cos u,y=a sin u,z=au tan alphax=a \cos u, y=a \sin u, z=a u \tan \alpha के लिए वक्रता की त्रिज्या तथा विमोटन की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Find the radius of curvature and radius of torsion of the helix x=a cos ux=a \cos u, y=a sin u,z=au tan alphay=a \sin u, z=a u \tan \alpha.
(c) yy-अक्ष की दिशा में गतिमान एक कण का मूलबिंदु की ओर त्वरण FyF y है, जहाँ F,yF, y का एक धनात्मक एवं सम फलन है। जब कण y=-ay=-a तथा y=ay=a के बीच में कंपन करता है, तब उसका आवर्तकाल TT है। दर्शाइए कि
(2pi)/(sqrt(F_(1))) < T < (2pi)/(sqrt(F_(2)))\frac{2 \pi}{\sqrt{F_1}}<T<\frac{2 \pi}{\sqrt{F_2}}
जहाँ F_(1)F_1 एवं F_(2)F_2 परास [-a,a][-a, a] में FF के अधिकतम एवं न्यूनतम मान हैं। आगे दर्शाइए कि जब लंबाई ll का एक सरल लोलक ऊर्ध्वाधर रेखा के किसी भी ओर 30^(@)30^{\circ} तक दोलन करता है, तब T,2pisqrt(l//g)T, 2 \pi \sqrt{l / g} तथा 2pisqrt(l//g)sqrt(pi//3)2 \pi \sqrt{l / g} \sqrt{\pi / 3} के बीच में रहता है।
A particle moving along the yy-axis has an acceleration FyF y towards the origin, where FF is a positive and even function of yy. The periodic time, when the particle vibrates between y=-ay=-a and y=ay=a, is TT. Show that
(2pi)/(sqrt(F_(1))) < T < (2pi)/(sqrt(F_(2)))\frac{2 \pi}{\sqrt{F_1}}<T<\frac{2 \pi}{\sqrt{F_2}}
where F_(1)F_1 and F_(2)F_2 are the greatest and the least values of FF within the range [-a,a][-a, a]. Further, show that when a simple pendulum of length ll oscillates through 30^(@)30^{\circ} on either side of the vertical line, TT lies between 2pisqrt(l//g)2 \pi \sqrt{l / g} and 2pisqrt(l//g)sqrt(pi//3)2 \pi \sqrt{l / g} \sqrt{\pi / 3}
8(a) अवकल समीकरण((dy)/(dx))^(2)((y)/(x))^(2)cot^(2)alpha-2((dy)/(dx))((y)/(x))+((y)/(x))^(2)cosec^(2)alpha=1\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\left(\frac{y}{x}\right)^2 \cot ^2 \alpha-2\left(\frac{d y}{d x}\right)\left(\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{x}\right)^2 \operatorname{cosec}^2 \alpha=1
का विचित्र हल प्राप्त कीजिए। दिए हुए अवकल समीकरण का पूर्ण पूर्वग भी ज्ञात कीजिए। पूर्ण पूर्वग तथा विचित्र हल की ज्यामितीय व्याख्या कीजिए।
Obtain the singular solution of the differential equation
((dy)/(dx))^(2)((y)/(x))^(2)cot^(2)alpha-2((dy)/(dx))((y)/(x))+((y)/(x))^(2)cosec^(2)alpha=1\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\left(\frac{y}{x}\right)^2 \cot ^2 \alpha-2\left(\frac{d y}{d x}\right)\left(\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{x}\right)^2 \operatorname{cosec}^2 \alpha=1
Also find the complete primitive of the given differential equation. Give the geometrical interpretations of the complete primitive and singular solution.
(b) एक गतिमान ग्रह का त्वरण (mu)/(” (दूरी “^(2))\frac{\mu}{\text { (दूरी }^2}दूरी के बराबर है और त्वरण की दिशा हमेशा एक स्थिर बिंदु (तारा) की ओर है। सिद्ध कीजिए कि उस ग्रह का पथ एक शंकु-परिच्छेद है। वे प्रतिबंध ज्ञात कीजिए, जिनके अन्तर्गत पथ (i) दीर्घवृत्त, (ii) परवलय और (iii) अतिपरवलय बन जाता है।
Prove that the path of a planet, which is moving so that its acceleration is always directed to a fixed point (star) and is equal to (mu)/(” (distance) “^(2))\frac{\mu}{\text { (distance) }^2}, is a conic section. Find the conditions under which the path becomes (i) ellipse, (ii) parabola and (iii) hyperbola.
(c) (i) गाउस के अपसरण प्रमेय का कथन लिखिए। इस प्रमेय को vec(F)=4x hat(i)-2y^(2) hat(j)+z^(2) hat(k)\vec{F}=4 x \hat{i}-2 y^2 \hat{j}+z^2 \hat{k} के लिए x^(2)+y^(2)=4,z=0x^2+y^2=4, z=0 और z=3z=3 से घिरे हुए क्षेत्र में सत्यापित कीजिए।
(ii) स्टोक्स प्रमेय के द्वारा oint_(C)e^(x)dx+2ydy-dz\oint_C e^x d x+2 y d y-d z का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ CC, वक्र x^(2)+y^(2)=4x^2+y^2=4, z=2z=2 है।
(i) State Gauss divergence theorem. Verify this theorem for vec(F)=4x hat(i)-2y^(2) hat(j)+z^(2) hat(k)\vec{F}=4 x \hat{i}-2 y^2 \hat{j}+z^2 \hat{k}, taken over the region bounded by x^(2)+y^(2)=4,z=0x^2+y^2=4, z=0 and z=3z=3.
(ii) Evaluate by Stokes’ theorem oint_(C)e^(x)dx+2ydy-dz\oint_C e^x d x+2 y d y-d z, where CC is the curve x^(2)+y^(2)=4,z=2x^2+y^2=4, z=2.
